Rujan 2011.
Mandelbrotov skup
Mandelbrotov skup nekada se čini najvećim čudom prirode a nekad, pak, samo matematičko-računalnih mogućnosti. Promatrate li ga nekoliko sekundi učinit će vam se živim, poput neobično sraslih buba (učtiviji tekstovi koji ga opisuju rabe pojam kukca), jedne znatno veće od druge, na koje su se nasadile još manje bube, a na ove još manje i tako u beskraj. Nekad pomislim da matematika doista može “zastraniti”, a primjer tog “zastranjena”, dakako u pozitivnom smislu, svakako vidim u tvorbi Mandelbrotovog skupa. Kad sam ovaj magični lik prvi put ugledao pomislio sam: “Evo nam lica svemira!“ Ako je sve u prirodi na mikro i makro razini slično sebi, kako to tumači princip fraktalnih dimenzija, onda je Mandelbrotov skup upravo ona sličica koja stoji na kraju svakog umanjivanja i uvećavanja svijeta – njegov ključ.
Ipak, nije tako jednostavno ustrajati na toj tvrdnji. Matematika ima jedno čudno svojstvo, oponašati prirodu na sebi svojstven način, pa tako, kaos u prirodi pronalazi svoj pandan i u matematici. Ipak, u slučaju teorije kaosa izgleda kao da je sama matematika doživjela prosvjetljenje. Nenadano, ukazalo joj se novo područje u kojem će možda pronaći i razlog svog postojanja – tu toliko nedostajuću osnovu za svoje čvrsto utemeljenje.
Priču o otkriću Mandelbrotovog skupa nije tako jednostavno sažeti književnim jezikom. Nekoliko stvari, pritom, apriori mora biti razumljivo čitatelju, sa stručnog stajališta: recimo, ti imaginarni brojevi, a da ne pričamo o kompleksnoj ravnini realnih i imaginarnih brojeva te principu iterativnog rješavanja određene jednadžbe čija rješenja obilježavaju točke Mandelbrotovog skupa u istoj. Sam James Gleick započinje priču povratkom na Feigenbaumovu univerzalnost spominjući, na moj ponos i diku, ponovno magiju:
Odakle ti ciklusi od 2, 4, 8, 16, ti Feigenbaumovi nizovi? Da li su se pojavili putem magije, iz nekakvog matematičkog ponora, ili su ukazivali na sjenu nečeg još dubljeg. Barnsleyeva intuicija govorila je da moraju biti dio nekakvog veličanstvenog fraktalnog objekta skrivenog daleko od pogleda.
Pokazalo se da svi ti fraktalni oblici od kojih su možda najpoznatiji Julijini skupovi imaju svog „praoca“ u Mandelbrotovom skupu. Benoitu Mandelbrotu pomoću računala uspjelo je pronaći lik koji bi se mogao smatrati nekom vrstom vodiča za sve druge fraktalne oblike. Došao je do toga da bi ponovljeno preslikavanje jedne vrlo jednostavne jednadžbe u kompleksnoj ravnini bilo u stanju na zaslonu računala iscrtati nešto iskonsko (o samoj konstrukciji Mandelbrotovog skupa, na kraju, odustao sam pisati i u stručnom smislu informirajte se o njemu na Wikipediji).
Mandelbrotov skup je najsloženiji objekt u matematici, vole reći njegovi štovatelji. Vječnost nije dovoljna da ga se cijelog pregleda, njegovi diskovi načičkani su bodljikavim trnjem, njegove spirale i vlakna vijugaju uokolo i prema van, noseći mjehuraste molekule koje vise, beskrajno raznolike, kao grozdovi na Božjoj lozi. Promatran u boji, kroz podesivi prozor računalnog zaslona, Mandelbrotov skup izgleda fraktalniji od fraktala, toliko je bogata njegova složenost u raznim mjerilima.
Najbolja stvar koja se tiče Mandelbrotovog skupa je hvatanje u koštac s beskonačnošću. Vrlo slični oblici, nikad u potpunoma isti, pojavljivat će se pri svakom novom umanjivanju. Kako se spuštamo u mikrorazinu „praoca“ fraktala, tako će pred našim očima uvijek iznova izranjati njegov početni oblik, dvije bube u zagrljaju u različitim položajima, okružene sličnim, ali nikad istim konjićima, spiralama i vlaknima. Gledamo li, pritom, i u igru samog života i svemira? To je to pitanje koje ostaje i kad se pogase svjetla “fraktalne pozornice” a računalni program zaustavi svoj rad…
Dogodilo se da sam tri posta za redom posvetio jednoj knjizi i, slobodno mogu reći, jednoj temi, što pomalo riskira dosadnost. Pritom, prednost sam uglavnom dao dosadnjikavom stručnom diskursu naspram onog u kojem bi mi same misli ispreplele neku svoju igru riječima oko tih čudesnih fraktalnih oblika u još čudesnijoj igri kaosa. Pa ipak, učinilo mi se da su u slučaju igre kaosa čak i ove stručne, mrtve riječi bile dovoljne za izražavanje magične biti ovog fenomena. Sam kaos i fraktali čudesni su i magični na svoj način tako da nema potrebe oko njih dolagati nekakve književne ukrase. Već sami po sebi su magijsko dostignuće. Stoga, slobodno uronite u Mandelbrotov skup putem ovog filmića kojeg donosim u prilogu, a riječi zadržite u sebi – tako ćete ostati bez daha!
Rujan 2011.
Fraktalna geometrija prirode
James Gleick: KAOS: RAĐANJE NOVE ZNANOSTI
Najintrigantniji nusproizvod teorije kaosa svakako predstavlja fraktalna geometrija prirode koju je 1970-ih na svjetlo dana iznio Benoit Mandelbrot. On je pošao od jednostavnog razmišljanja da euklidska geometrija nije dovoljna za izražavanje složenosti prirode.
Oblaci nisu kugle, Mandelbrot je rado govorio. Planine nisu stošci. Munja ne putuje pravocrtno.
Ima nešto doista čudno u vezi prirode. Njezini oblici nisu matematički oblici, pa opet, kao da ni matematika nije kazala svoju zadnju riječ o sebi i svojim mogućnostima izražavanja stvarnosti. Ponukan nekim bizarnim matematičkim likovima na koje je naišao u radovima svojih kolega s početka 20. stoljeća, u jednom trenutku, Mandelbrot se odlučio za proučavanje neobičnog i neuhvatljivog oblika u prirodi koji je uspješno izmicao euklidskoj geometriji: odlučio se pozabaviti, ni manje ni više, nego s „običnom“ obalnom crtom i njenom biti postavljajući sebi jedno pomalo uvrnuto pitanje.
Mandelbrot je postavio to pitanje u članku koji je postao prekretnicom u njegovu razmišljanju: “Koliko je duga obala Britanije?“
Već u startu pretpostavio je odgovor: svaka je obalna crta – u određenom smislu – beskrajno dugačka. Jedan tako bizaran zaključak zahtjeva pojašnjenje. Kako se može dogoditi da nešto što u stvarnosti osjećamo potpuno konačnim (jer ako ćemo pravo, obalu Britanije koliko god da jest dugačka, možemo propješačit u nekoj jedinici vremena te se uvjeriti u njenu konačnost) u matematici se javlja kao beskrajna veličina. Tajna je u perspektivi promatrača, veli Mandelbrot. Ukoliko se započnemo spuštati u “mikro-svemir” obalne crte primijetit ćemo nešto neobično: u okviru zaljeva i poluototka koje zamjećujemo i golim okom, kako se mjerilom spuštamo na sve manje razmake, iskrsavat će novi zaljevi i poluotoci te nam se čini da tako možemo ići u beskraj. Posljedica ovakvog načina promatranja neznatan je ali neograničen rast obalne crte u matematičkom smislu.
Zapravo, ovu, po matematiku vrlo neugodnu situaciju, u kojoj neki nepravilni i bizarni oblici, čak i matematičke prirode, poprimaju beskrajne duljine, uočili su još neki “perverzni” matematičari s početka 20. stoljeća. Među njima se posebno ističe ime Helge von Koch čiji um je bio dovoljno ustrajan u svojoj “perverznosti” i bizarnosti da mu je uspjelo zamisliti jedan gotovo nemoguć matematički lik koji je, pak, u literaturi poznat pod prilično nevinim nazivom – Kochina pahuljica. Kako formirati Kochinu pahuljicu? Zamislimo jednakostraničan trokut i zadajmo mu ponovljivu transformaciju: na srednju trećinu svake stranice dodajmo novi jednakostraničan trokut. U prvoj iteraciji dobijemo Davidovu zvijezdu. Međutim, ponavljajući zadanu transformaciju, Davidova zvijezda ubrzo će poprimiti oblik pahuljice, ali pahuljice s dosta čudnim svojstvom: svojstvom neograničenog povećavanja opsega. Što se događa?
Opišemo li oko izvornog trokuta kružnicu Kochina krivulja [koja opisuje Kochinu pahuljicu] nikad je neće prijeći. Pa ipak, sama je krivulja beskonačno dugačka, kao euklidska ravna crta produljena do rubova neograničenog svemira…
Ono što je nevjerojatno i s čim se naš um doista mora boriti da shvati jest da „svaka transformacija povećava duljinu na četiri trećine prethodne duljine“ naše bezazlene pahuljice. Opseg pahuljice doista se beskrajno povećava! James Gleick završava priču o Kochinoj pahuljici sljedećim riječima:
Ovaj paradoksalan rezultat, beskonačna duljina u konačnom svemiru, uznemiravala je mnoge matematičare na prijelazu stoljeća koji su razmišljali o ovom problemu. Kochina [pahuljica] bila je čudovišna, protivna svakom normalnom poimanju likova i – gotovo da i nije bilo potrebno reći – patološki ne nalik bilo čemu pronađenom u prirodi.
Ipak, Mandelbrot je upravo u Kochinoj pahuljici, preciznije Kochinoj krivulji vidio „grub, ali djelotvoran model obalne crte“. I ne samo to, shvatio je da se tajna njene paradoksalnosti krije u dimenzijama. Kad biste ga zapitali na koji način, zapravo, u naš život ulaze dimenzije on bi odgovorio: „u ovisnosti o motrištu“. S velike udaljenosti neka stvar se čini poput točke, jednodimenzionalna je, pa ipak, kad joj se priđe dovoljno blizu ona postaje dvodimenzionalna, a još bliže trodimenzionalna itd.. Poznato je i da teoretičari teorije struna opravdavaju svojih jedanaest dimenzija u svojoj teoriji sličnim razmišljanjem. Kažu da bismo ih zamijetili kad bismo im se dovoljno približili – a to znači da bismo se jednoga dana – “mikroskopski” – trebali spustiti na njihovu razinu.
Ipak, nema jasne granice kada se jednodimenzionalna točka nekog predmeta u našoj percepciji pretvara u trodimenzionalno tijelo. Stoga je Mandelbrot posegnuo za nečim, uobičajenom matematičaru, vjerojatno nemogućim: ustanovio je razlomačke dimenzije, dimenzije koje je smjestio između priznatih cjelobrojnih dimenzija. Mogli ste, recimo, imati dimenziju od 1,2. Razmišljajući o Kochinoj krivulji i koristeći se matematičkim tehnikama onih istih “perverznih” matematičara s početka 20. stoljeća, izračunao je točnu vrijednost njene dimenzije. Razmislimo malo, Kochina krivulja je malo više od crte jer zauzima prostor, ali ipak znatno manje od ravnine; Mandelbrot bi se s tim složio i zatim ponudio i točnu vrijednost – 1,2618. Na osnovi izračunate vrijednosti dimenzije nekog predmeta Mandelbrot je pošao dalje i na njenoj osnovi izveo novo ključno određenje: stupanj hrapavosti ili nepravilnosti nekog predmeta. U čemu je poanta? Stupanj nepravilnosti nekog predmeta upravo zbog konstantne vrijednosti njegove dimenzije ostaje postojan bez obzira na mjerilo.
Sada je već shvatio da mu je potreban naziv za te njegove uvrnute likove, dimenzije i geometriju. I tako je nastao fraktal, opća oznaka za nepravilne oblike čiji stupanj hrapavosti ne ovisi o mjerilu.
Misaono, fraktal je način promatranja beskraja.
Osim toga, fraktalno je značilo i sebi slično.
Fraktalni ustroj prirode je izveo svoja djela tako uspješno da u većini tkiva nijedna stanica nikad nije više od tri ili četiri stanice udaljena od krvne žile. Ipak, krvne žile i krv zauzimaju malo prostora, ne više od pet posto tijela.
Svoja je otkrića Mandelbrot objavio u knjizi i više nego egzotičnog naziva Fraktali: oblik, slučaj i dimenzija. Nakon nekoliko godina ova je knjiga dobila svog proširenog i pročišćenog nasljednika u Fraktalnoj geometriji prirode za koju Gleick kaže da je „prodana u više primjeraka nego ijedna druga knjiga o višoj matematici“ i koja je pozajmila naslov ovom postu…
I tako, ni ovoga puta nisam uspio stići do kraja prikaza Gleickove knjige. Preostao mi je osvrt na praoca svih fraktalnih oblika – Mandelbrotov skup. Ali kako ne biste zaboravili da je ovo u svojoj biti književni blog za kraj ovog posta donosim i prigodnu „kaotičnu“ književnu crticu…
U jednom trenutku pojavio se, sam od sebe, taj znak, ili kako to uopće već nazvati. Lorenz ga je prvi ugledao, nesvjesno je poruku prenio Yorkeu, Yorke je nazvao Maya, May Ruella, Ruell Shawa, Shaw je zatim nazvao Feigenbauma, Feigenbaum dojavio Barnsleyu, a Barnsley istu poruku prenio ponovno Lorenzu. A Lorenz, taj sramežljivi meteorolog, koji nikuda nije išao bez svoje žene, zapravo inicijalni otkrivač kaosa, duboko je uzdahnuo i kazao:
– Pa, zar je moguće!?
Zatim je izišao iz svoje kuće držeći se za ruke sa suprugom i pogledao u nebo. A ono, nebo, bilo je upravo takvo kakvo bi trebalo biti, prozirno plavo i nepredvidljivo, s urednim ništavilom u svom središtu. Ovdje nije bilo riječi o nikakvim kvantnim fluktuacijama na mikrorazini i s tim u vezi, kvantne fizičare unaprijed možemo izbaciti iz cijele priče. Jedino, prema sjeveru, kao da se nešto doista neobično događalo: oblaci su ispleli čudnovate oblike koji su se Lorenzu učinili kao slova. Pa, zar je moguće? Oblaci su pred njegovim zabezeknutim pogledom ispisivali jasan i svakome razumljiv imperativ: „FILOZOFIRAJTE!“Nije prošlo dugo, Benoit Mandelbrot se spuštao u svom razlomačkom četveropregu pozdravljajući izbezumljene znanstvenike kaosa okupljene u Lorenzovom dvorištu.
– Nemojte reći da vas nije iznenadio! – nehajno im je doviknuo.
– Ali, Benoit – zavapila je Mellisa Lorenz, Edwardova supruga – Ovo je Božji znak. Kakve veze kaos može imati s njim?
– Zar ne vidiš da nam je poruku prenio preko oblaka, tih istih oblaka koji posjeduju fraktalnu dimenziju odnosno kad ih čovjek promatra iz aviona nisi siguran jesu li udaljeni tri ili tri hiljade metara od tebe… Možda je ovo upozorenje – tu se Mandelbrot počešao po svojoj bradi.
Edward Lorenz stajao je okrenut suncu, raširenih ruku, prstima kao dodirujući tišinu oko sebe.
– Nisam sve ovo želio, ovu popularnost, Benoit – govorio je zatvorenih očiju. – Znaš, samo sam otišao na kavu i kad sam se vratio to se dogodilo… Ne mogu povjerovati da sam sada odgovoran za događaje koji su uslijedili, da sam možda pobudio i bijes samog Njega…
– Ne pričaj gluposti – hladno je uzvratio Mandelbrot.
– Zar nitko ne zna čitati? – povikao je ostalima – „Filozofirajte!“ piše pa filozofirajmo. Možda je ovo samo upozorenje da prebrišemo svoje matematičke i fizikalne table i odamo se ponovno filozofiranju prapočela…Možda se priroda, stvarnost, što god, ponovno čudnovato izmijenila…A s druge strane Stvarnosti, u prostoru i vremenu Svevišnjeg, njegov pomoćnik okrećući se tamnoj prilici svoga gospodara u sjeni okuražio se dati svoj sud:
– Rekao sam vam, o Bože, da vam se ovaj Mandelbrot možda malo i suviše približio…
– Nije Kristijane – uzvrati Bog – Ali molim te, što prije razbucaj te oblake kako ne bi previše mozgali o poruci koju sam im odaslao. Složit ćemo im novu sliku prirode. Čovjeku ne smije biti dosadno.
– Kako kažete, o Bože. – skrušeno obori glavu Kristijan.
– A sad me ostavi na miru! – naposljetku gromko a opet tiho, u svom stilu, prošapta najtajnovitija spodoba svemira.
Kolovoz 2011.
Teorija kaosa
James Gleick: KAOS – RAĐANJE NOVE ZNANOSTI
Evo nam jedne teorije koja baca rukavicu u lice svim fizičarima i matematičarima koji se kao pijani plota drže svog područja! Na neki način, stvari se pomalo zakuhavaju. Potrebno je misliti kozmički, ali ne i globalno. Jer, osim matematike i fizike, u igri se, po pitanju razotkrivanja stvarnosti, najednom pojavljuje i jedan neugledni gospodin obučen u “odijelo od fraktala i atraktora” – no, gospodin Kaos. Radi se o relativno novom znanstvenom području koje je utemeljeno u drugoj polovini 20. stoljeća.
Sramežljivom američkom meteorologu Edwardu Lorenzu prvom je pošlo za rukom naslutiti prirodu kaosa. A kako je matematičarima, više-manje, uspjelo zauzdati njegovu prirodu, svodeći je u poznate determinističke okvire, u literaturi se pojavio poznati oksimoron – deterministički kaos.
Kako je započela nova znanost? Priča je nadasve uzbudljiva, pa je iz knjige Jamesa Gleicka prenosim gotovo pa u cijelosti. Lorenza je, kao i svakog meteorologa, zanimala prognoza vremena, naravno, što dugotrajnija – tim bolja. Putem zadavanja početnih uvjeta poput tlaka zraka ili temperature proučavao je razvoj vremenskih prilika pomoću računala. Kombinacija točno određenih početnih uvjeta tvorile bi jedan niz vremenskih prilika u računalnom modelu. Računalni model je pritom bio čista simulacija, ništa više.
Jednog dana, zime 1961., želeći podrobnije proučiti jedan niz, Lorenz je krenuo prečicom. Umjesto ponovnog započinjanja cijelog postupka, krenuo je iz sredine. Kako bi stroju dao početne uvjete, otkucao je brojke iz ranijeg ispisa. Zatim je odšetao hodnikom, da pobjegne od buke i popije kavu. Kad se sat kasnije vratio, vidio je nešto neočekivano, nešto što je posijalo sjeme buduće znanosti.
Novi je niz trebao točno ponoviti stari. Lorenz je sam prepisao brojeve. Ipak, pogledavši ispis, ustanovio je da se njegovo vrijeme brzo odvaja od obrasca prethodnog niza, kod čega je, kroz jedva nekoliko mjeseci, svaka sličnost nestala… Najprije je pomislio da se pokvarila neka elektronska cijev.
Odjednom je shvatio istinu. Nije bilo kvara, Problem je bio u brojevima koje je upisao. U memoriji računala pohranjeno je šest decimalnih mjesta: 0,506127. U ispisu, zbog uštede prostora, pojavljuju se samo tri: 0,506. Lorenz je unio kraće, zaokružene brojeve, pretpostavljajući da razlika – jedna tisućinka – nema značaja…
Odlučio je podrobnije proučiti način na koji su se dva gotovo jednaka niza vremenskih prilika razišla. Prekopirao je jednu valovitu crtu ispisa na prozirnu podlogu i postavio je preko druge, istražujući način njihova razdvajanja. Najprije su se dva brijega poklapala do u tančine. Zatim jedna crta počinje za dlaku zaostajati. Do idućeg brijega dva su niza vidljivo izvan faze. Do trećeg ili četvrtog brijega, sve sličnosti su nestale…
Tog je prvog dana zaključio da dugoročna prognoza vremena nema budućnosti.
U kasnijem radu, Lorenz se daje na proučavanje vodeničnog kola, prvog znamenitog sustava kaosa koji ga je naposljetku i doveo do njegova atraktora. Vrlo je lako zapaziti da zbog nelinearnih učinaka okretanje vodeničnog kola postaje kaotično. Razmislimo malo o tome. Na početku, vjedra na vodeničnom kolu dok ih puni mlaz vode ubrzavaju, ali „ako se kolo brzo okreće, malo je vremena za punjenje“ pa „vjedra mogu krenuti na drugu stranu prije nego li se dospiju isprazniti“. To znači da vodenično kolo mnogo puta može izmijeniti smjer svog okretanja. Što je napravio Lorenz? Preko tri vrijednosti koje određuju trenutni položaj vodeničnog kola u trodimenzionalnom prostoru počeo je mukotrpno računati (zapravo računalo je računalo, a on vjerojatno samo sa strane promatrao!)
U bilo kojem trenutku, tri varijable određuju položaj točke u trodimenzionalnom prostoru; kako se sustav mijenja, kretanje točke predstavlja stalno promjenjive varijable.
S obzirom da se sustav nikad ne ponavlja putanja nikad točno ne presijeca samu sebe. Umjesto toga, vječno piše petlje. Kretanje na atraktoru je apstraktno, ali izražava bit kretanja stvarnog sustava. Na primjer, prelazak s jednog krila atraktora na drugo odgovara promjeni smjera okretanja vodenog kotača…
Ono što se iscrtalo na zaslonu Lorenzova računala u nekom zabitom meteorološkom uredu u vukojebini SAD-A, tamo negdje, početkom šezdesetih godina, dobilo je naziv Lorenzov atraktor, prva matematički vidljiva manifestacija kaosa koju je pogonila ta osjetljiva ovisnost o početnim uvjetima.
Ti naoko bezazleni a čudovišni početni uvjeti nam lijepo prognoziraju: ako smo leptirić u Tokyju i u jednom trenutku zamahnemo svojim krilcima, slijed događaja koji smo pokrenuli može prouzročit uragan na Floridi. Odatle se za osjetljivost o početnim uvjetima nekog sustava u pjesničkim krugovima rabi izraz leptirov učinak.
Pomislim kakav bi lijep atraktor vjerojatno tvorile moje misli kada bi ih se uspjelo uhvatit u odgovarajući računalni model; možda bi bio sličan Neobičnom atraktoru, samo jednom u šumi atraktora čiji likovi su započeli izranjati na zaslonima računala u znanstvenim laboratorijima širom Europe i Amerike. A možda bi ipak imao neki svoj jedinstven oblik?
Devet je godina Lorenzov članak naslovljen „Deterministički neperiodični tok” čučao u meteorološkom časopisu Journal of Atmospheric Sciences, objavljen u 20. broju na 130. stranici, dok ga na koncu 1972. matematičar po imenu James Yorke nije otkrio.
Kad je Yorke vidio Lorenzov članak, iako je bio zakopan u meteorološkom časopisu, znao je da je to primjer koji će fizičari razumjeti.
York je osjećao da su fizičari naučili ne opažati kaos. U svakodnevnom životu lorencijansko svojstvo osjetljive ovisnosti o početnim uvjetima [međutim] čuči posvuda.
Yorkov članak „čudnog i zakučastog“ naslova „Period tri ukazuje na kaos“ dao je ime novoj znanosti. Kamen se zakotrljao i uskoro privukao mnoge čudne tipove kojima je rad u novim i neistraženim područjima znanosti naprosto bio u krvi.
„Fraktalni“ dio knjige Jamesa Gleicka u ovom postu, ipak preskačem. Vezu između atraktora i fraktala koju su ustvrdili Harry Swinney, Jerry Gollob i David Ruelle proučavajući „problem nad problemima“ – turbulenciju – ostavljam za jedan od budućih zapisa, a sve to, kako bih ukazao čast jednom od najvećih Magičara koji su hodali zemljom – Benoitu Mandelbrotu. Njegov čudesni skup kojim je, mnogi će se složiti, razotkrio geometriju prirode predstavlja još jedan magični lik nove znanosti a koji kao da nas približava na korak od samog Boga…
Ali ako bi se na trenutak vratili mučnom pitanju iz jednog od prijašnjih postova: pogađa li matematika svojim aksiomima našu stvarnost, onda bi teorija kaosa, odnosno napor oko stvaranja i proučavanja svih tih atraktora i bifurkacija, ukazala da djelomično svakako to čini. Mitchell Feigenbaum, dugokosi znanstvenik iz Los Alamosa svojim računalnim modeliranjem dokazao je da je kaos univerzalna slika prirode, da različite jednadžbe zapravo konvergiraju istom rješenju. Michael Barnsley je, pak, ustvrdio da priroda igra vlastitu inačicu igre kaosa. To objašnjava na primjeru računalne simulacije nastanka paprati.
U spori iz koje izrasta neka paprat može se smjestiti ograničena količina informacije. Dakle, postoji ograničenje razrađenosti do koje može izrasti paprat. Nije čudno što možemo pronaći odgovarajuću sažetu informaciju kojom ćemo opisati paprat.
Zamislite kojom ste, onda, nelinearnom jednadžbom vi opisani! Njena rješenja polako će graditi materiju od koje ste sastavljeni. Na osnovi teorije kaosa to bi se događalo na način: prvo ova stanica ovdje na ruci, pa onda ova u srcu, pa ova, tko zna negdje u našoj glavi itd.; kako bi se jednadžba izvodila pojavljivali biste se iz nasumičnog niza točkica-stanica i na koncu dosegli svoj konačni tjelesni oblik. Priroda igra vrlo sličnu igru jedino što vam ne dopušta „nastajanje točkicu po točkicu“ nego od početka ravnomjerno rastete. Ali, nije li to znak da se njena jednadžba svodi na isto, ali da je samo profinjenija?
Robert Stetson Shaw je na koncu zaključio da je kaos tvorevina informacije. Kako je po svojoj prirodi nepredvidljiv, „stvara stalni niz informacija. Svako novo opažanje je novi bit.“ Bio je to „prvi mukotrpni pokušaj preplitanja teorije informacija i kaosa.“
James Gleick u svojoj knjizi na nekoliko mjesta u knjizi spominje riječi „magično“ odnosno „magija“: Prvi put kada opisuje Lorenzov atraktor, prvu sliku kaosa u znanstvenoj literaturi, kaže:
Ovaj magični lik, nalik licu sove ili krilima leptira, postao je zaštitni znak prvih istraživača kaosa.
Drugi put, kada uspostavlja vezu između znanstvenika koji bave kaosom:
Lorenzov rad bio je magija koju je Yorke, i ne znajući, tražio.
Naposljetku, citirao je dva znanstvenika, Heinz Otto Peitgena i Peter H. Richtera koji su proračunavajući, iscrtavajući i ulazeći u dubine Mandelbrotovog skupa u jednom trenutku zapisali: „Možda bismo trebali povjerovati u magiju.“
Svakome odatle mora biti jasno da se magija i magično odnose na one prve trenutke u spoznajama velikih teorija. Novost se uvijek doživljava magično. Nova spoznaja o funkcioniranju prirode ima učinak magijskog čina: natjerali smo prirodu da nam se podvrgne, nama, bijednim ljudskim prolaznostima, da svoj bitak uredi tako da je odsada nama spoznatljiv.
Sada vam mora biti jasan i povod ove blog-pisanije i odakle epistemološki izvire tako ugledno ime vašeg domaćina… ili još nije!?
O Duhu i njegovim Moćima 