Kolovoz 2011.
Čudesno zdrava i podrazumijevajuća neutemeljenost matematike
Zvonimir Šikić: FILOZOFIJA MATEMATIKE
Prije neki dan u caffe-baru moga punca doživjeh neobičnu zgodu. Ušao sam u lokal kao i obično s namjerom da se posvetim razmišljanju, ali ubrzo ozlojeđeno otkrih da za mojim stolom ispod palminog drveta sjedi neobičan stranac motreći sve oko sebe svojim pomalo izbezumljenim očima. To me je natjeralo da sjednem za stol nasuprot njegovu. I što sad? Misli su mi bile konfuzne. Nisam mogao početi razmišljati. Taj nezvani gost poremetio je moje planove! K tomu, učinilo mi se i da se nekako podsmešljivo osmjehuje kada bi pogledao u mom smjeru. Kad evo ti punca:
– Čini se da ćeš opet ‘filozofirati’… – dometnu, osmjehujući se podrugljivo i ne gledajući me u oči. Za kratko vrijeme vlažnom krpom prebrisa stol ispred mene.
– Tako je, danas ću filozofirati o matematici.
– A ne bi li ipak da ti donesem neke novine?
– Ne bi! – odbrusio sam – Pogledaj! I onaj gospodin tamo možda razmišlja, čak si je donio i knjigu. Učinit ćemo da tvoj caffe-bar postane ‘razmišljaonica’ za sve slobodne duhove, a ne svratište za one kojima je na pameti samo kladionica…
Punac se samo jetko osmjehnu i udalji. Bilo kako bilo, vrijeme je nastavilo teći, idemo početi razmišljati, ne vrijedi gubiti vrijeme…
Danas sam želio razmišljati o tome kako znamo da je matematika u pravu, da pogađa u svom opisu stvarnosti? Pogledao sam u nezvanog gosta, i on u mene, i zatim se prepustio kontemplaciji… Oduvijek su me mučili ti križići, povlake, točke i crte koje se stavljaju između, više-manje, apstraktnih simbola dogovorenog značenja. Matematičari govore o operacijama zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja prirodnih, kompleksnih, realnih i, kojih sve ne, brojeva. Međutim, a to se oduvijek pitao moj nematematički spekulativni um, kako im polazi za rukom, zapravo, zbrojiti različito? 2 i 3 su različiti entiteti ne bi li njihov zbroj trebao dati 23 a ne 5. Ah ne, klikću matematičari. U pomoć im, pritom, priskače geometrija. Lijepo se nacrta ravna linija koja se podijeli na jednake dijelove. Kada se ti “jednaki dijelovi” – a jednaki mogu biti samo u matematici – započnu brojati, eto nam na podiju brojeva! Ali umjesto da brojimo „jedan dio“, „opet onaj dio“, “pa opet jedan te isti dio“ – mi se “stvaralački” zaigramo i za svako ponavljanje jednog te istog dijela uvodimo nov naziv i kažemo: „jedan, dva, tri…“. Ponavljanje zamišljeno jednakog, a u prirodi sličnog dijela, prema tome, utemeljuje brojeve, a odatle i matematiku u cjelini.
U 19. stoljeću će Georg Cantor, zb
og problema beskonačne djeljivosti jednakih dijelova unutar sebe, biti prisiljen brojeve proglasiti skupovima te se od tog sretnog dana matematika zasniva na teoriji skupova. Kada malo bolje razmislim sve druge vrste brojeva nastaju postupkom dijeljenja osnovne „jednake veličine“, racionalni (razlomački i decimalni), realni (iskazuje odnos koji se ne može izraziti kao razlomak), kompleksni (koji obuhvaća realne i uvodi imaginarne brojeve) itd. Sva matematika se svodi na dijeljenje, usitnjavanje zbilje i na tom izvoru, u konačnici, i sama izvire.
Pa ipak, matematičari govore da rade s apstrakcijama. Podijeljena duljina o kojoj je riječ je apstraktna i ne može se pronaći u prirodi. To mi se već više dopada – matematika shvaćena kao čista umjetnost. Matematika tako stoji na samoj litici znanstvene stijene s koje se pruža zastrašujući pogled na ponor beskonačnosti. Utemeljenja u djeljivosti, svejedno, zbilje ili apstrakcije, ona se zbog toga nužno mora gubiti u ponorima beskonačnosti.
Probali su pitagorejci, pa odustali, kada su otkrili nesumjerljiv odnos između stranice i dijagonale pravokutnog trokuta; probao je i Georg Cantor s teorijom skupova, a nakon spoznaje Russelovog paradoksa shvatio da do kraja nikada neće u tome uspjeti. Probao je i Gottlob Frege s logičkim utemeljenjem matematike, podržan Dedekindovom izjavom o broju kao neposrednom proizvodu čistih zakona mišljenja neovisnom o predodžbama ili intuicijama prostora i vremena. Ili kako piše Zvonimir Šikić u svojoj Filozofiji matematike: logička definicija broja zasnovana je na svojevrsnim klasama pojmova (koje, pak, neodoljivo podsjećaju na skupove) pa je i ovo utemeljenje matematike ubrzo naišlo na isti problem kao i teorija skupova:
Logicizam se povukao jer nije mogao logički zasnovati taj jedini preostali predmet matematike, hijerarhiju klasa. Pokušaj da se klase shvate “čisto logički”, kao sasvim proizvoljne ekstenzije, propao je suočivši se s paradoksalnim ekstenzijama poput Russellove klase svih klasa koje ne pripadaju same sebi. Ako takva klasa ne pripada sama sebi, onda ona, po svojoj definiciji, pripada sama sebi. Ako takva klasa pripada sama sebi onda ona, po svojoj definiciji, ne pripada sama sebi.
Preko svih tih odustajanja ipak se i danas tiho prelazi kao preko smrti Boga. Nema veze, odmahuju rukama matematičari, kao da se ništa nije dogodilo i nastavljaju raditi. Ne znam koliko tisuća teorema se godišnje prijavljuje matematičkom uredu! A to je upravo karakteristika ovog vremena, opstati na nesigurnim temeljima. Taj točak što se njiše pod nama izgleda dovoljno stabilan; zbilju smo usitnili do neprepoznatljivosti, i zbog toga imamo posla, vječno imamo posla i potrebna nam je matematika.
Zamislite kao način života to usitnjavanje, primjećivati zbilju na tako šarolik način. Mitchell Feigenbaum, znanstvenik čiji se doprinos veže uz otkriće univerzalnosti teorije kaosa, tomu se usprotivio napisavši:
Ja bih zaista želio znati kako se opisuju oblaci. Ali reći da imamo jedan komadić s ovoliko gustoće i još jedan pokraj njega s onoliko gustoće – mislim da je pogrešno sakupljati toliko usitnjenih informacija. To sigurno nije način na koji ljudsko biće te stvari opaža, a nije ni viđenje umjetnika. Posao zapisivanja parcijalnih diferencijalnih jednadžbi nije nekako polučio pravi rezultat.
Tu smo! Jučer sam satima tupo gledao u te diferencijalne jednadžbe pokušavajući shvatiti ontologiju svih tih x-ova, y-a, kvadrata i posebice tih razlomačkih crta. Što zapravo znači kad napišemo nešto iznad, a nešto ispod razlomačke crte? Jedna od najpoznatijih primjena razlomačke crte tiče se poznate fizikalne formule v=s/t. Vrlo brzo shvatimo da je brzina (v) ovdje potpuno izvedena veličina, nešto što smo stvorili od odnosa prijeđenog puta (s) u točno određenom vremenu (t). Kasnije, kad kažemo tijelo se giba tom i tom brzinom zapravo izmišljamo jer koristimo pojam koji smo prethodno sami smislili.
Matematika je tako utemeljena na nečemu što ne možemo pronaći u prirodi (npr. jednaku duljinu), ali se ponaša poput prirode postajući raznolikom; drugim riječima, započinje iz skromnih i neutemeljenih početnih uvjeta izvoditi svašta. Dočim, priroda nikada neće ponoviti isti oblik iako će, više-manje, ponoviti svoje ponašanje, matematičkim jezikom – svoje funkcije; drugim riječima, priroda je funkcionalna u matematičkom žargonu. Možda se upravo tu nalazi spona između matematike i prirode koja se ogleda upravo u jednoj osobitoj mogućnosti ponavljanja – kako oblika (u matematici) tako i ponašanja/funkcija (u prirodi). Po prvi put, spreman sam objaviti svoju tezu: matematika utemeljena na neutemeljenosti nečeg jednakog (npr. jednakoj duljini) u daljnjem izvođenju oponaša prirodu te postaje raznolika na isti način kao što je u temelju raznolika priroda, u kojoj ništa nije jednako, sklona pukom ponavljanju svog “ponašanja” pomalo sličeći na matematiku. U tom malom preklapanju matematika i priroda ipak se podudaraju.
Gospodin ispod palminog drvetu učini mi se neobično veselim, kao da je i on stigao do istog zaključka. Gotovo pa da sam bio spreman ustati, prići mu i stisnuti ruku, kadli se odnekud ponovno stvori moj punac. Odnoseći ispred mene praznu šalicu nemarno dobaci:
– Vidim da ne skidaš pogleda, pa ne sumnjam da ti se dopalo ogledalo koje smo jučer tu postavili…
O Duhu i njegovim Moćima 